existence and approximate $l^{p}$ and continuous solution of nonlinear integral equations of the hammerstein and volterra types

بسیاری از پدیده ها در جهان ما اساساً غیرخطی هستند، و توسط معادلات غیرخطی ‎‏بیان شد‎‎‏ه اند. از آنجا که ظهور کامپیوترهای رقمی با عملکرد بالا، حل مسایل خطی را آسان تر می کند. با این حال، به طور کلی به دست آوردن جوابهای دقیق از مسایل غیرخطی دشوار است. روش عددی، به طور کلی محاسبه پیچیده مسایل غیرخطی را اداره می کند. با این حال، دادن نقاط به یک منحنی و به دست آوردن منحنی کامل که اغلب پرهزینه و وقت گیر است. علاوه بر این درک کامل و ضروری از مسایل غیرخطی مشکل است. روش های عددی و تحلیلی، دارای مزایا و محدودیت هایی است. به طور کلی روش های تحلیلی برای مسایل غیرخطی، مانند اختلال وجود دارد و با استفاده از روش های اختلال، بسیاری از خواص و پدیده های جالب و مهم از مسایل غیرخطی حل می شوند. روش های اختلال نقش مهمی در توسعه علوم و مهندسی دارد. این روش به دلیل سادگی در اجرا و دقت بالا، مورد توجه محققان ریاضی، فیزیک و علوم مهندسی در سرتاسر جهان قرار گرفته است. روش ‎$ l‎^{p}‎ $‎ و کاربرد آن درحل مسایل غیرخطی است.‎ روش ‎$ l‎^{p}‎ $‎ ‎‎ برای حل معادله غیرخطی پاره ای انتشار گاز در محیط متخلخل استفاده شده است که روابط جریان گاز حقیقی که در آنها خواص گاز به صورت تابعی ضمنی از دما، فشار و ترکیب بیان می شوند، همواره مورد بحث بوده اند. چرا که معادله انتشار جریان گاز غیرخطی می باشد. روش های مختلفی برای حل تقریبی معادله انتشار گاز حقیقی وجود دارد اما همه آنها دارای محدودیت هایی هستند، مثلاً برخی تنها در دامنه خاصی از فشار‏، ‏جواب می دهند و برخی در فضای غیرحقیقی ‎(لاپلاس)‎ می باشند. روش ‎ ‎$ ‎l‎^{p}‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ $‎ جواب هایی با دقت بالا در فضای حقیقی ارائه داده و نسبت به روش های موجود ساده تر می باشد. همچنین می توان از این روش در تحلیل داده های تولید و چاه آزمایی استفاده نمود و خواص مهم مخزن را نظیرتر سازند، ضریب پیوسته و...تخمین زد‎.‎ اولین بار در سال‎$ 1820 $‎ آبل در یکی از کارهایش با معادله انتگرال مواجه شد. البته نام تعداد زیادی از ریاضیدانان همچون کوشی-فردهلم-ولترا و دیگران به موضوع وابسته است.